Lineare Gleichungen lösen Übungen und Beispiele

Auf dieser Seite wird anhand von vielen Beispielen erklärt, wie du beim Lineare Gleichungen lösen vorgehen muss.

Dabei wird besonders auf die verschiedenen Verfahren eingegangen, die du zum Lösen von diesen anwenden kannst.

Diese sind ein sehr wichtiges Thema in der Mathematik, das von der Schule an bis zum Studium eine wichtige Rolle spielt.

Dabei gibt es zwar einige Verfahren, die du beim Lineare Gleichungen lösen anwenden kannst, allerdings ist es am wichtigsten dabei, dass du einige Erfahrung mit dem Rechnen dabei hast.

Mann kann nicht jede Aufgabe nach dem Schema F rechnen, sondern muss sich jede einzelne Aufgabe für sich angucken und dann die Rechenschritte überlegen.

Lineare Gleichungen Übungen:

Diese Aufgaben  sind Rechensysteme mit einer bestimmten Anzahl von unbekannten Variablen, welche du meistens ausrechnen musst.

Als Ergebnis für eine Variable kannst du dabei entweder eine Zahl oder wieder eine Gleichung erhalten. Diese steht dann für eine lineare Funktion die du grafisch in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst und welche alle Lösungen der Aufgabe enthält.
Hier beschränken wir uns allerdings auf das richtige Auflösen, da dies mit der schwerste Teil ist.

Dieses kann beispielsweise so aussehen:

  • ax + bz + c = y

Dabei sind  X und Z die unbekannten Variablen und A, B und Y bekannte Zahlen. Dabei ist es entscheidend, wieviele unbekannte Variablen der Ausdruck erhält.Wir beschränken uns hier auf dieser Seite auf lineare Gleichungen Übungen mit bis zu 2 Unbekannten, da diese in der Schule drankommen ( später im Studium folgen Aufgaben mit wesentlich mehr Unbekannten).

Lineare Gleichungen lösen:

Beim Rechnen mit diesen Aufgabentypen kannst du so ziemlich alles machen, was du willst. ( ja Mathematik kann auch kreativ sein 😉 )Entscheidend  dabei ist jedoch, dass du es auf jeder Seite vom =  machst.  Hier sind einige Regeln die du beim Rechnen in diesem Zusammenhang beachten musst:

  • Plus und Minus kannst du einfach auf beiden Seiten vom = dazuschreiben
  • Bei Mal und geteilt musst du den gesamten Term rechts und links vom = teilen beziehungsweise mal nehmen:
  •  5 + 7 = 3 – 4         / : 5
  • (5 + 7 ) / 5  = ( 3 – 4 ) / 5
  •  5 + 7 = 3 – 4          / • 3
  •  ( 5 + 7 ) • 3 = ( 3 – 4 ) • 3

Fangen wir mit einer einfachen Aufgabe einmal an:

  • 5x + 8 – 3 = 10  Aufgabe: Wir sollen X ausrechnen

Beim Rechnen musst du alle Schritte, die du machst, neben die Gleichung hinter einem Strich aufschreiben:

  • 5x + 8 – 3 = 10          / – 8 + 3

Jetzt rechnen wir auf beiden Seiten vom = -8 und  + 3 , wodurch die 5 x schon einmal alleine auf einer Seite stehen ( was ja sein muss, wir wollen ja X = Ergebnis herausbekommen)

  • 5x  = 10 -8 + 3
  • 5x = 5

Jetzt müssen wir nur noch die 5 vor dem X wegbekommen. Dazu teilen wir den gesamten Term durch 5:

  • 5x = 5           / : 5
  • x = 5

Okay jetzt wissen wir, wie man mit diesen Systemen rechnet und diese umformt. Etwas schwieriger wird es bei 2 Unbekannten und sogar mehreren Terme. Dafür gibt es insgesamt 3 wichtige Verfahren, mit deren Hilfe du die Aufgaben lösen kannst:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Weiter solltest du dir merken:

  • Du kannst nur Aufgaben lösen, wo die Anzahl der Unbekannten Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist, beispielsweise 3 Unbekannte mit 3 Audrücken usw.

Das Gleichsetzungsverfahren:

Beim Gleichsetzungsverfahren formst du beiden Terme so lange um, bis bei beiden auf einer Seite des = das gleiche steht. Dann kannst du nämlich diesen Teil weglassen und hast die Aufgabe schon wesentlich vereinfacht:

Beispiel:

  • 5x + 7y – 3 = 12   und  3x + 7y -15 = 10

Wir formen beide  nach Y um:

  • 7y = 12 + 3 – 5x   und   7y = 10 + 15 – 3x

Jetzt steht in beiden Termen auf einer Seite das gleiche. Wir können die Gleichungen gleichsetzen:

  • 12 + 3  – 5x  =   10 + 15 – 3x

So haben wir eine Variable (Y) eliminiert  und können einfach nach X  umstellen und ausrechnen:

  • 2x = 12 + 3 – 10 – 15
  • x = -5

Das Einsetzungsverfahren:

Beim Einsetzungsverfahren zum Linearen Gleichungen Lösen formst du nur einen Teil eines Terms nach einer Zahl oder Variable um, die in der anderen Gleichung vorkommt und setzt diese dann dafür ein:

Beispiel:

  • 10x + 20y – 5 = 25    und    10x -15y – 8 = 50

Wie immer ist dein Ziel, eine Unbekannte aus einer dem term zu eliminieren, sodass du dort die andere Variable ausrechnen kannst. Dazu formen wir einen Teil nach einer Variablen um:

  • 10x  =  -20y + 5 + 25

und setzen diese in die andere Gleichung ein:

  • ( – 20y + 5 + 25 ) – 15y – 8 = 50

so hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten und kannst nach Y auflösen:

Wenn du Y so ausgerechnet hast, setzt du den Wert einfach in den anderen Ausdruck für das Y ein und rechnest so X aus.

Das Additionsverfahren:

Beim Additionsverfahren stellst du beide Ausdrücke so um, dass die Variablen in der gleichen Reihenfolge untereinander stehen. Dann kannst du wie bei der schriftlich Addition ( siehe Rubrik) die beiden Terme zusammenfassen:

  • (1) 5x + 3y – 8 = 10
  • (2) 3x – 3y – 5 = 20

(1) + (2) =  5x + 3x + 3y – 3y – 8 – 5 = 30

→  8x  -13 = 30  →   x = 43/8

 Hier findest du ein Rechenprogramm mit dem du jede Aufgabe dazu berechnen kannst:

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